Цікаво

Різниця між комбінаціями та перестановками

Різниця між комбінаціями та перестановками


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Протягом усієї математики та статистики нам потрібно знати, як рахувати. Особливо це стосується деяких проблем з ймовірністю. Припустимо, нам дано всього н відмінні об'єкти і хочуть вибрати r їх. Це стосується безпосередньо області математики, відомої як комбінаторика, що є вивченням підрахунку. Два з основних способів їх підрахунку r об’єкти від н елементи називаються перестановками та комбінаціями. Ці поняття тісно пов'язані між собою і легко плутаються.

Чим відрізняється комбінація від перестановки? Ключова ідея - це порядок. Перестановка звертає увагу на порядок вибору наших об'єктів. Той самий набір об’єктів, але взятий в іншому порядку, дасть нам різні перестановки. За допомогою комбінації ми все одно вибираємо r об'єктів із загальної кількості н, але наказ вже не розглядається.

Приклад перестановок

Щоб розрізнити ці ідеї, ми розглянемо наступний приклад: скільки перестановок існує з двох літер із набору {a, b, c}?

Тут ми перераховуємо всі пари елементів із заданого набору, весь час звертаючи увагу на замовлення. Всього існує шість перестановок. Список усіх перерахованих: ab, ba, bc, cb, ac і ca. Зауважте, що як перестановки аб і ба відрізняються тим, що в одному випадку а був обраний перший, а в інший а було обрано друге.

Приклад комбінацій

Тепер ми відповімо на таке запитання: скільки комбінацій є дві літери з набору {a, b, c}?

Оскільки ми маємо справу з комбінаціями, ми більше не дбаємо про порядок. Ми можемо вирішити цю проблему, оглянувши перестановки, а потім усунувши ті, що містять ті самі букви. Як комбінації, аб і ба розглядаються як однакові. Таким чином, існує лише три комбінації: ab, ac і bc.

Формули

У ситуаціях, з якими ми стикаємося з більшими множинами, занадто багато часу, щоб перелічити всі можливі перестановки або комбінації та порахувати кінцевий результат. На щастя, існують формули, які дають нам кількість перестановок або комбінацій н взяті об’єкти r зараз.

У цих формулах ми використовуємо скорочення позначень н! називається н факторіальний. Факториал просто говорить про множення всіх позитивних цілих чисел, менших або рівних н разом. Так, наприклад, 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24. За визначенням 0! = 1.

Кількість перестановок н взяті об’єкти r за часом задається формулою:

П(н,r) = н!/(н - r)!

Кількість комбінацій н взяті об’єкти r за часом задається формулою:

С(н,r) = н!/r!(н - r)!

Формули на роботі

Щоб побачити формули на роботі, розглянемо початковий приклад. Кількість перестановок набору з трьох об'єктів, взятих по два одночасно, задається числом П(3,2) = 3! / (3 - 2)! = 6/1 = 6. Це відповідає точно тому, що ми отримали, перерахувавши всі перестановки.

Кількість комбінацій набору з трьох об'єктів, взятих по два одночасно, задається:

С(3,2) = 3! / 2! (3-2)! = 6/2 = 3. Знову це точно узгоджується з тим, що ми бачили раніше.

Формули безумовно економлять час, коли нас просять знайти кількість перестановок більшого набору. Наприклад, скільки перестановок існує набір з десяти об'єктів, взятих по три одночасно? Перерахувати всі перестановки буде потрібно деякий час, але за формулами ми бачимо, що було б:

П(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 х 9 х 8 = 720 перестановок.

Основна ідея

Яка різниця між перестановками та комбінаціями? Суть полягає в тому, що при підрахунку ситуацій, які передбачають замовлення, слід використовувати перестановки. Якщо порядок не важливий, слід використовувати комбінації.


Video, Sitemap-Video, Sitemap-Videos